LV.AMO.2004.10.2 lv
Pusriņķa līnijas diametrs ir \(AB\). Uz pusriņķa līnijas ņemti divi punkti \(M\) un \(N\), kas nesakrīt ne ar \(A\), ne ar \(B\). Stari \(AM\) un \(BN\) krustojas punktā \(O\).
Pierādīt: ap \(\triangle MNO\) apvilktās riņķa līnijas garums atkarīgs tikai no hordas \(MN\) garuma, nevis no tās novietojuma.
Atrisinājums
Apzīmēsim hordas \(MN\) garumu ar \(a\), bet tās savilktā loka leņķisko lielumu ar \(\omega\). Iespējami divi gadījumi:
\(\sphericalangle MON=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\omega\right)=90^{\circ}-\frac{\omega}{2}\)
\(\sphericalangle MON=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}+\omega\right)=90^{\circ}+\frac{\omega}{2}\)
Atliek ievērot, ka \(\sin \left(90^{\circ}-\frac{\omega}{2}\right)=\sin \left(90^{\circ}+\frac{\omega}{2}\right)\), un izmantot sinusu teorēmu \(MN=2R \cdot \sin \sphericalangle MON\).