LV.AMO.2003.12.3 lv
Uz trijstūra \(ABC\) malām \(AB\) un \(BC\) kā uz pamatiem ārpus \(\triangle ABC\) konstruēti vienādsānu trijstūri \(AMB\) un \(BNC\) (\(AM=MB\) un \(BN=NC\)). Zināms, ka \(\sphericalangle AMB+\sphericalangle BNC=180^{\circ}\) un \(K\) ir malas \(AC\) viduspunkts. Pierādīt, ka \(\sphericalangle MKN=90^{\circ}\).
Atrisinājums
Papildināsim zīmējumu līdz simetriskam (skat. 13.zīm.). Tad \(MNM_{1}N_{1}\) ir paralelograms ar simetrijas centru (tātad diagonāļu krustpunktu) \(K\). Ja pierādīsim, ka tas ir rombs, uzdevums būs atrisināts.
Skaidrs, ka mums pietiek pierādīt, ka \(\sphericalangle MBN=\sphericalangle NCM_{1}\); tad \(\triangle MBN=\triangle M_{1}CN\) \((m \ell m)\) un tāpēc \(MN=M_{1}N\).
Ievērojam, ka \(\sphericalangle MBN=360^{\circ}-\alpha \quad-\beta-\gamma\) un \(\sphericalangle NCM_{1}=\alpha+\beta+180^{\circ}-\gamma\). Mums jāpierāda, ka \(360^{\circ}-\alpha-\beta-\gamma=\alpha+\beta+180^{\circ}-\gamma\) jeb \(\alpha+\beta=90^{\circ}\), jeb \(\left(180^{\circ}-2 \alpha\right)+\left(180^{\circ}-2 \beta\right)=180^{\circ}\). Bet tā ir tieši uzdevumā dotā sakarība.