Atrodiet trīsciparu skaitli, kuru kāpinot jebkurā naturālā pakāpē, iegūstam skaitli, kura pēdējie trīs cipari veido sākotnējo skaitli.
Apzīmēsim meklējamo skaitli ar \(N\). Tad \(1000 \mid \left(N^{2}-N\right)\) un \(8 \cdot 125 \mid (N-1) \cdot N\).
Tā kā \(N\) un \(N-1\) ir savstarpēji pirmskaiţ̦i, un neviens no tiem nevar dalīties ar \(8 \cdot 125\), tad pastāv divas iespējas:
a. \(8 \mid N\) un \(125 \mid(N-1)\), jeb \(N=376\); b. \(125 \mid N\) un \(8 \mid(N-1)\), jeb \(N=625\).
Tā kā jebkuram naturālam \(k \quad N^{k}-N=N\left(N^{k-1}-1\right)\) dalās ar \(N(N-1)\), tad abas iegūtās \(N\) vērtības apmierina uzdevuma nosacījumus.
Atrodiet visas tādas naturālu skaitļu virknes \((a_n)\), kurām izpildās sekojošas īpašības:
a. visiem naturāliem \(n\), \(a_n \leq n\sqrt{n}\),
b. visiem naturāliem \(m\) un \(n\) starpība \(a_m - a_n\) dalās ar \(m-n\).