Bezgalīgā naturālu skaitḷu virknē katru nākamo skaitli, sākot no otrā, var iegūt iepriekšējam pieskaitot vai nu \(54\), vai \(77\). Pierādīt, ka šajā virknē ir skaitlis, kuram divi pēdējie cipari ir vienādi!
Ievērosim, ka \(2 \cdot 77=154\), kas nozīmē, ka pieskaitīt \(54\) ir tas pats, kas divas reizes pieskaitīt \(77\) (mums interesē tikai skaitla divi pēdējie cipari). Aplūkosim citu virkni \(b_{i}\), kurā pirmais loceklis ir dotās virknes pirmais loceklis, bet katru nākamo, iegūst, iepriekšējam loceklim pieskaitot \(77\):
\(b_{0}=a_{1}\); \(b_{1}=a_{1}+77\); \(b_{2}=a_{1}+2 \cdot 77\); \(b_{3}=a_{1}+3 \cdot 77\); \(\ldots\) jeb \(b_{i}=a_{1}+77 \cdot i\), kur \(i=0;1;2;3;\ldots\).
Tad mūsu dotās virknes locekḷus var iegūt no šīs virknes, sākot no \(a_{1}\) un katrā solī ejot uz priekšu vai nu par \(1\) vietu (uz nākamo locekli) vai par 2 vietām (uz aiznākamo). Pierādīsim, ka šajā virknē ir visas \(100\) iespējamās pēdējo ciparu vērtības (no \(00\) līdz \(99\)). Aplūkosim pirmos \(100\) šīs virknes locekļus. Ja kāda no vērtībām nebūtu sastopama, tad pēc Dirihlē principa kādiem diviem no pirmajiem \(100\) virknes loceklliem būtu vienādi divi pēdējie cipari. Tādā gadījumā to starpība dalītos ar 100. Ja sakrīt \(b_{i}\) ar \(b_{j}\) locekli, tad \(b_{j}-b_{i}=a_{1}+77 \cdot j-\left(a_{1}+77 \cdot i\right)=77(j-i)\), kas dalās ar \(100\).
Tā kā \(77\) un \(100\) ir savstarpēji pirmskaitļi, tad no tā var secināt, ka \(i-j\) dalās ar \(100\). Kas ir pretruna, jo gan \(i\), gan \(j\) ir mazāki nekā 100 (mēs aplūkojām pirmos \(100\) locekļus). Tātad kaut kur šajā virknē \(b_{i}\) ir loceklis, \(b_{k}\), kas beidzas ar \(11\). Bet tas nozīmē, ka nākamais loceklis \(b_{k+1}\) beidzas ar \(11+77=88\). Tā kā mums ir divi locekļi pēc kārtas, kam pēdējie cipari ir vienādi, tad tiem "pārlēkt pāri" nevar, tā kā mēs katrā solī ejam vai nu uz nākamo, vai aiznākamo locekli, tad uz viena no šiem diviem mēs noteikti trāpīsim.