Uz galda traukā ir \(200\) konfektes. Brālītis un Karlsons pēc kārtas izdara gājienus, Brālītis sāk. Vienā gājienā var paņemt no trauka un apēst vai nu vienu, vai divas konfektes. Uzvar tas spēlētājs, kurš apēd pēdējo konfekti. Kurš uzvarēs pareizi spēlējot, ja papildus zināms, ka katrs no viņiem var apēst ne vairāk kā (A) \(140\); (B) \(110\) konfektes? (Gadījumā, ja spēlētājs vairs nevar izdarīt gājienu, viņš zaudē).
(A) Vienmēr var uzvarēt Brālītis. Šajā gadījumā \(140\) ir pietiekami liels skaitlis un neietekmē spēles gaitu, var spēlēt tā it kā šāda ierobežojuma nebūtu. Tādā gadījumā pirmā spēlētāja stratēģija ir klasiska: vajag atstāt pretiniekam konfekšu skaitu, kas dalās ar \(3\). Tas nozīmē, ka pirmajā gājienā Brālītim jāapēd \(2\) konfektes, pēc tam katrā nākamajā gājienā, ja Karlsons ēd vienu konfekti, tad Brālītim jāēd divas, bet, ja Karlsons ēd divas konfektes, tad Brālītim jāēd viena. Tādējādi pēc pirmā Brālīša gājiena traukā paliks 198 konfektes (\(198\) dalās ar \(3\)) un pēc katra nākamā Brālīša gājiena konfekšu skaits traukā samazināsies par \(3\) un pēc \(198 ∶ 3 = 66\) gājieniem kļūs vienāds ar \(0\). Kopā Brālītis būs izdarījis \(1 + 66 = 67\) gājienus un katrā gājienā apēdis ne vairāk kā \(2\) konfektes, tātad kopā viņš būs apēdis ne vairāk kā \(67 \cdot 2 = 134\) konfektes.
(B) Vienmēr var uzvarēt Karlsons. Šajā gadījumā iepriekšējā stratēģija vairs nedarbojas, jo, ja Brālītis mēģinās to pielietot un Karlsons katrā gājienā ēdīs vienu konfekti, tad Brālītim būs jāņem divas un jau pēc \(55\) gājieniem viņš būs pārēdies un vairāk ēst nevarēs, kaut gan apēstas būs tikai \(2 + 54 \cdot 3 = 164\) konfektes.
Aprakstīsim stratēģiju, ar kuru Karlsons var uzvarēt. Pirmajos \(70\) gājienos viņš katrā ēd vienu konfekti. Pēc šiem gājieniem būs apēstas vismaz \(140\) konfektes, tātad atlikušas \(60\) vai mazāk konfekšu. Ja pirms viņa 71.gājiena konfekšu skaits nedalās ar 3, tad viņš jau var pielietot (a) gadījuma stratēģiju, katrā atlikušajā gājienā paņemot attiecīgi \(1\) vai \(2\) konfektes, lai pēc viņa gājiena atlikušais konfekšu skaits dalītos ar \(3\). Tā kā viņš vēl var apēst \(110 − 70 = 40\) konfektes, tad ar to viņam pietiek vēl vismaz \(20\) gājieniem un gājienu skaits noteikti nebūs lielāks, jo ar šo stratēģiju katrā gājienā konfekšu skaits samazinās par \(3\), tātad vairām par \(20\) gājieniem vajadzētu vairāk par \(60\) konfektēm.
Interesantāka ir situācija, ja pirms Karlsona 71. gājiena konfekšu skaits dalās ar \(3\). Tādā gadījumā tas ir \(57\) vai mazāks. Tagad katrā savā gājienā Karlsons var turpināt ēst vienu konfekti, līdz pēc kāda viņa gājiena konfekšu skaits traukā dalās ar \(3\) (un tad tālāk viņš var lietot atkal klasisko stratēģiju). Pierādīsim, ka šāds brīdis, kad pēc Karlsona gājiena konfekšu skaits traukā dalās ar \(3\), noteikti pienāks. Lai to nepieļautu, Brālītim katrā gājienā būtu jāņem \(2\) konfektes. Tādā gadījumā, kad traukā būs palikušas \(0\) konfektes, Karlsons būs apēdis ne vairāk kā \(70 + 57 ∶ 3 = 89\) konfektes un tātad Brālītis būs apēdis vismaz \(200 − 89 = 111\) konfektes, kas ir pretrunā ar to, ka viņš nevar apēst vairāk kā \(110\) konfektes.