Atrisinājums

Vienādojot vienādojumu kreiso pušu izteiksmju saucējus, iegūstam

\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2 + 1}{x} = 2y^2 \\ \frac{y^2 + 1}{y} = 2z^2 \\ \frac{z^2 + 1}{z} = 2x^2 \\ \end{array} \right.\]

Tā kā pirmā vienādojuma labās puses izteiksme \(2y^2 \geq 0\) un kreisās puses daļas skaitītājs \(x^2 + 1 > 0\), tad arī daļas saucējs \(x > 0\). Līdzīgi no pārējiem vienādojumiem iegūstam, ka \(y>0\) un \(z>0\). Ievērojam, ka pozitīvam \(x\) ir spēkā \(x + \frac{1}{x} \geq 2\), jo to var ekvivalenti pārveidot par \(x - 2 + \frac{1}{x} \geq 0\) jeb

\[\left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 \geq 0.\]

Pēdējā nevienādība izpildās, jo ir reāla skaitļa kvadrāts. Tāpēc arī \(2y^2 = x + \frac{1}{x} \geq 2\) jeb \(y \geq 1\) (un līdzīgi arī \(x \geq 1\) un \(z \geq 1\)). Saskaitot visus dotos vienādojumus, iegūstam

\[\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{y^2 + 1}{y} + \frac{z^2 + 1}{z} = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2;\]

\[\frac{2x^3 - x^2 - 1}{x} + \frac{2y^3 - y^2 - 1}{y} + \frac{2z^3 - z^2 - 1}{z} = 0.\]

Tā kā \(2x^3 - x^2 - 1 = x^3 - x^2 + x^3 - 1 = x^2(x-1) + (x-1)(x^2 + x + 1) = (x-1)(2x^2 + x + 1)\), tad iegūstam

\[\frac{(x-1)(2x^2 + x + 1)}{x} + \frac{(y-1)(2y^2 + y + 1)}{y} + \frac{(z-1)(2z^2 + z + 1)}{z} = 0.\]

Ņemot vērā, ka \(x,y,z \geq 1\), un ievērojot, ka \(2x^2 + x + 1 > 0\), \(2y^2 + y + 1 > 0\) un \(2z^2 + z + 1 > 0\) (jo \(D < 0\) un atbilstošās kvadrātfunkcijas zari vērsti uz augšu), iegūstam, ka vienādojuma un dotās sistēmas vienīgais atrisinājums ir \(x = y = z = 1\). *Piezīme.* Alternatīvi pēc tam, kad ir iegūts, ka \(x,y,z \geq 1\), šo atrisinājumu var pabeigt šādi: Simetrijas dēļ pieņemsim, ka lielākais no skaitļiem ir \(x\) (\(x \geq y\) un \(x \geq z\)). Aplūkojam vienādojumu \(2x^2 = z + \frac{1}{z}\). Ievērojam, ka, ja \(x > 1\), tad \(x^2 > x \geq z\) un \(x^2 > 1 \geq \frac{1}{z}\), tātad \(2x^2 = x^2 + x^2 > z + \frac{1}{z}\). Iegūta pretruna. Tātad \(x = 1\) un tā kā tas ir lielākais no skaitļiem, tad arī \(y = 1\) un \(z=1\).