Atrisinājums

Pamatosim, ka \(x^{2}+y^{2}+xy \geq \frac{3}{4}(x+y)^{2}\). Veicam ekvivalentus pārveidojumus:

\[\begin{gathered} x^{2}+y^{2}+xy \geq \frac{3}{4}x^{2}+\frac{3}{2}xy+\frac{3}{4}y^{2} \\ \frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4}y^{2}-\frac{1}{2}xy \geq 0 \\ x^{2}+y^{2}-2 x y \geq 0 \\ (x-y)^{2} \geq 0 . \end{gathered}\]

Tā kā iegūta patiesa nevienādība, tad arī dotā nevienādība ir patiesa. Līdz ar to esam ieguvuši, ka \(3 \geq \frac{3}{4}(x+y)^{2}\) jeb \(4 \geq(x+y)^{2}\), tātad \(-2 \leq x+y \leq 2\). Vēl jāparāda, ka visām vērtībām šajā intervālā ir atbilstošas \(x\) un \(y\) vērtības. Apzīmējam \(x+y=t(-2 \leq t \leq 2)\). No dotās vienādības iegūstam

\[x^{2}+2xy+y^{2}-xy=3 \quad \Rightarrow \quad xy=(x+y)^{2}-3 \quad \Rightarrow \quad xy=t^{2}-3\]

Sastādām kvadrātvienādojumu \(a^{2}-ta+t^{2}-3=0\), kura sakņu summa ir \(a_{1}+a_{2}=t\) un sakņu reizinājums ir \(a_{1} a_{2}=t^{2}-3\). Ja šim vienādojumam ir atrisinājums dotai \(t\) vērtībai, tad tā saknes ir meklētās \(x\) un \(y\) vērtības. Aprēķinām diskriminantu \(D=(-t)^{2}-4 \cdot 1 \cdot\left(t^{2}-3\right)=12-3t^{2}\), tā kā \(-2 \leq t \leq 2\), tad \(t^{2} \leq 4\), tātad visām pieļaujamajām \(t\) vērtībām \(D \geq 0\). Tātad \(-2 \leq x+y \leq 2\).

• questionType:
• domain: