LV.VOL.2019.12.2 lv
Riņķa līnijā ar centru punktā \(O\) novilkta horda \(AB\), kas neiet caur \(O\). Caur punktu \(B\) novilkts perpendikuls pret \(AB\), kas riņķa līniju vēlreiz krusto punktā \(D\). Uz loka \(AB\), kuram nepieder \(D\), atzīmēts šī loka viduspunkts \(C\). Taisnes \(AC\) un \(DB\) krustojas punktā \(E\). Pierādīt, ka \(OE^{2}=OB^{2}+2 \cdot OB \cdot BE\).
Atrisinājums
Apzīmējam \(OB=OC=R\) (skat. 12.att.). Tā kā \(C\) ir loka \(AB\) viduspunkts, tad \(OC\) ir nogriežņa \(AB\) vidusperpendikuls, kas krusto \(AB\) punktā \(F\). Tātad \(OC \parallel DE\). No \(AO=OD\) un \(OC \parallel DE\) izriet, ka \(OC\) ir trijstūra \(ADE\) viduslīnija. Tātad \(ED=2OC=2R\).
Taisnes \(OE\) krustpunktus ar riņķa līniju apzīmējam ar \(X\) un \(Y\). Apskatām starpību
\[OE^{2}-OB^{2}=(OE-R)(OE+R)=EX \cdot EY\]
Tā kā pēc sekanšu īpašības \(EX \cdot EY=EB \cdot ED\), tad\[OE^{2}-OB^{2}=EB \cdot ED=EB \cdot 2R=2 \cdot EB \cdot OB\]
Līdz ar to esam ieguvuši, ka \(OE^{2}=OB^{2}+2 \cdot OB \cdot BE\).
- questionType:
- domain: