Naturālu skaitļu virkni \(\left(s_{i}\right)\) pēc parauga, " \(2016\) " veido šādi: \(s_{1}=2;\ s_{2}\) - mazākais naturālais skaitlis, kas lielāks nekā \(s_{1}\) un tā pierakstā ir cipars \(0;\ s_{3}\) - mazākais naturālais skaitlis, kas lielāks nekā \(s_{2}\) un tā pierakstā ir cipars \(1;\ s_{4}\) - mazākais naturālais skaitlis, kas lielāks nekā \(s_{3}\) un tā pierakstā ir cipars \(6\). Pēc tam meklētie cipari cikliski atkārtojas: \(2-0-1-6-2-0-\ldots\). Virknes pirmie locekļi ir \(2;\ 10;\ 11;\ 16;\ 20;\ 30;\ 31;\ 36;\ 42;\ 50\).
Vai šajā virknē ir skaitlis (A) \(2001\), (B) \(2006\)?
Pavisam ir četru veidu gājieni: " \(2 \rightarrow 0\) " (skaitlis satur \(2\) un meklējam nākamo skaitli, kas satur \(0\)), " \(0 \rightarrow 0\) ", " \(1 \rightarrow 6\) " un " \(6 \rightarrow 2\) ". Ievērojam, ka neviens gājiens neļauj pārlēkt no skaitļa \(N\) uz skaitli, kas ir lielāks nekā \(N+10\).
Virknē pēc izdarīta gājiena " \(1 \rightarrow 6\) " būs kāds no skaitļiem \(1906,\ 1916,\ 1926\) vai \(1936\).
Aplūkosim, kāda ir tālākā skaitļu virkne katrā no gadījumiem:
Kā redzams, visos gadījumos virknē pēc gājiena " \(1 \rightarrow 6\) " ir skaitlis \(1936\).
Tātad, turpinot virkni, iegūsim
\[\begin{aligned} & 1936 \xrightarrow{6 \rightarrow 2} 1942 \xrightarrow{2 \rightarrow 0} 1950 \xrightarrow{0 \rightarrow 1} 1951 \xrightarrow{1 \rightarrow 6} 1956 \xrightarrow{6 \rightarrow 2} 1962 \stackrel{2 \rightarrow 0}{\longrightarrow} 1970 \xrightarrow{0 \rightarrow 1} 1971 \xrightarrow{1 \rightarrow 6} 1976 \xrightarrow{6 \rightarrow 2} 1982 \xrightarrow{2 \rightarrow 0} \\ & \rightarrow 1990 \xrightarrow{0 \rightarrow 1} 1991 \xrightarrow{1 \rightarrow 6} 1996 \xrightarrow{6 \rightarrow 2} 2000 \xrightarrow{2 \rightarrow 0} \mathbf{2001} \stackrel{0 \rightarrow 1}{l} 2010. \end{aligned}\]
Līdz ar to esam pierādījuši, ka skaitlis \(2001\) pieder virknei, bet skaitlis \(2006\) - nepieder.