Apskatām skaitļu virkni \(F_{1}=1;\ F_{2}=2;\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\) pie \(n \geq 1\). Kāds lielākais šīs virknes elementu daudzums var veidot vienu aritmētisku progresiju?
Atbilde: \(3\).
Atrisinājums: progresijas ar \(3\) locekļiem ir, piemēram, \(1;\ 2;\ 3\) vai \(2;\ 5;\ 8\). Pieņemsim, ka progresijas pirmie divi locekļi ir \(f_{k}=a\) un \(f_{m}=f_{k}+d=a+d>d\). Ievērosim, ka \(f_{m+1}>f_{m}\) un \(f_{m+2}=f_{m}+f_{m+1}>f_{m}+d\). Tātad trešais progresijas loceklis var būt tikai \(f_{m+1}\); tad jau nākošais Fibonači skaitlis \(f_{m+2}=f_{m+1}+f_{m}>f_{m+1}+d\) ir pārāk liels, lai ietilptu mūsu progresijā. Tātad vairāk par \(3\) locekļiem nevar būt.