Apskatām virkni, kas augošā secībā satur visus naturālos skaitļus, kuri nedalās ar \(3\). Virknes sākums tātad ir
\[1;\ 2;\ 4;\ 5;\ 7;\ 8;\ 10;\ 11;\ \ldots\]
Dots, ka \(2n\) pēc kārtas ņemtu virknes locekļu summa ir \(300\) ( \(n\) - kaut kāds naturāls skaitlis). Kādas ir iespējamās \(n\) vērtības?Pastāv divas iespējas:
(A) apskatāmie skaitļi ir \(3k+1;\ 3k+2;\ 3k+4;\ 3k+5;\ \ldots;\ 3k+3n-2;\ 3k+3n-1\). To summa ir \((6k+3)+(6k+9)+\ldots+(6k+6n-3)=\frac{n}{2}(6k+3+6k+6n-3)=3n(2k+n)\), tātad \(n(2k+n)=100\). Abi reizinātāji ir ar vienādu paritāti, tātad pāra skaitļi. Apskatot, kā \(100\) var sadalīt reizinātājos, iegūstam \(n=2\) vai \(n=10\); attiecīgi \(k=24\) vai \(k=0\).
(B) apskatāmie skaitļi ir \(3k+2;\ 3k+4;\ 3k+5;\ 3k+5;\ \ldots;\ 3k+3n-2;\ 3k+3n-1; 3k+3n+1\). To summa pārsniedz (A) summu par \((3k+3n+1)-(3k+1)=3n\), tātad ir \(3n(2k+n)+3n=3n(2k+n+1)\). Iegūstam \(n(n+2k+1)=100\). Šoreiz \(n\) un \((n+2k+1)\) ir dažādas paritātes, un otrais reizinātājs ir lielāks. Iegūstam iespējas \(n=1,\ k=49; \quad n=4,\ k=10; \quad n=5,\ k=7\).