LV.VOL.2008.9.4 lv
Dots, ka \(ABC\) - trijstūris, bet \(X\) un \(Y\) - tādi punkti, ka \(\sphericalangle AXB=\sphericalangle BYC=90^{\circ}\). Pierādīt, ka nogrieznis \(XY\) nav garāks par \(\triangle ABC\) pusperimetru.
Atrisinājums
Apzīmēsim ar \(M\) un \(N\) malu \(AB\) un \(BC\) viduspunktus. Tad \(XM=\frac{1}{2} AB, \quad YN=\frac{1}{2} BC\) (mediāna pret hipotenūzu) un \(MN=\frac{1}{2} AC\) (viduslīnija). Tāpēc \(XY \leq XM+MN+NY \leq \frac{1}{2} AB+\frac{1}{2} CA+\frac{1}{2} BC=\frac{1}{2}(AB+BC+CA)\), k.b.j.
