LV.SOL.2020.12.2 lv
Uz riṇka līnijas diametra \(A B\) atlikts punkts \(C\), bet \(X\) un \(Y\) ir punkti uz rinka līnijas, kas nesakrīt ne ar \(A\), ne ar \(B\). Pierādīt, ka \(\frac{\operatorname{tg} \sphericalangle AXC}{\operatorname{tg} \sphericalangle XAC}=\frac{\operatorname{tg} \sphericalangle AYC}{\operatorname{tg} \sphericalangle YAC}\).
Atrisinājums
Novelkam \(CZ \perp AX\) (skat. 18.att.). Tā kā \(AB\) ir diametrs, tad \(\sphericalangle AXB=90^{\circ}\) un \(BX \| CZ\). No \(\triangle XZC\) un \(\triangle AZC\) iegūstam, ka \(\operatorname{tg} \sphericalangle AXC=\frac{CZ}{XZ}\) un \(\operatorname{tg} \sphericalangle XAC=\frac{CZ}{AZ}\), tad \(\frac{\operatorname{tg} \sphericalangle \mathrm{AXC}}{\operatorname{tg} \sphericalangle \mathrm{XAC}}=\frac{AZ}{ZX}=\frac{AC}{CB}\) (pēdējā vienādība izriet no Talesa teorēmas).
Līdzīgi iegūstam, ka \(\frac{\operatorname{tg} \sphericalangle AYC}{\operatorname{tg} \sphericalangle \mathrm{YAC}}=\frac{A C}{C B}\). Tātad esam pierādījuši, ka \(\frac{\operatorname{tg} \sphericalangle AXC}{\operatorname{tg} \sphericalangle XAC}=\frac{\operatorname{tg} \sphericalangle AYC}{\operatorname{tg} \sphericalangle YAC}\).
