Atrisinājums

(A) Vismazākais skaitlis \(N=31\). Sadalot pirmreizinātājos, iegūstam, ka \(434=2 \cdot 7 \cdot 31\). Lai reizinājums \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot N\) dalītos ar \(434\), tad reizinājumam \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot N\) ir noteikti jāsatur reizinātājs \(31\). Tā kā 31 ir pirmskaitlis, tad pirmo reizi tas parādīsies kā reizinātājs \(31\), reizinātāji \(2\) un \(7\) atbilstošajā reizinājumā noteikti būs. Līdz ar to mazākā iespējamā vērtība ir \(N=31\).

(B) Vismazākais skaitlis \(N=10\). levērojam, ka \(2025=3^{4} \cdot 5^{2}\). Lai reizinājums \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot N\) dalītos ar 2025, tad reizinājumam \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot N\) ir jāsatur vismaz četri reizinātāji 3 un vismaz divi reizinātāji \(5\). Līdz ar to:

• lai reizinājums saturētu vismaz divus reizinātājus \(5\), tad \(N\) vērtībai jābūt vismaz 10 (atbilstošie reizinātāji ir \(5\) un \(10\));
• lai reizinājums saturētu vismaz četrus reizinātājus \(3\), tad \(N\) vērtībai jābūt vismaz \(9\) (atbilstošie reizinātāji ir \(3 ; 6 ; 9=3^{2}\)). Tātad mazākā \(N\) vērtība ir \(10\).