Atrisinājums

Apzīmējam piecstūri ar \(ABCDE\) un pieṇemam, ka \(AB \| CE\), \(BC \| AD\), \(CD \| BE\) un \(DE \| AC\). Pamatosim, ka arī \(AE \| BD\). Tā kā \(AB \| CE\), tad augstumi, kas novilkti no punktiem \(C\) un \(E\) pret malu \(A B\) ir vienādi kā attālumi starp paralēlām taisnēm (skat. 14. att.). No šī varam secināt, ka \(S_{ABE}=S_{ABC}\), jo novilktie augstumi pret vienu un to pašu malu \(A B\) ir vienāda garuma.

Līdzīgi var pamatot, ka \(S_{ABC}=S_{BCD}\), jo augstumi, kas novilkti no punktiem \(A\) un \(D\) pret malu \(BC\), ir vienāda garuma, jo \(BC \| AD\). Šādi turpinot, iegūstam, ka \(S_{BCD}=S_{CDE}\), jo \(CD \| BE\), un \(S_{CDE}=S_{ADE}\), jo \(DE \| AC\). Tātad esam ieguvuši, ka \(S_{ABE}=S_{ABC}=S_{BCD}=S_{CDE}=S_{ADE}\) jeb \(S_{ABE} = S_{ADE}\). Trijstūriem \(ABE\) un \(ADE\) ir kopīga mala \(AE\). Tā kā šo trijstūru laukumi ir vienādi, tad augstumiem, kas novilkti pret šo malu, arī jābūt vienādiem. Tātad attālumi starp nogriežņiem \(AE\) un \(BD\) ir vienādi. Secinām, ka šie nogriežṇi ir paralēli, tas ir, \(AE \| BD\).