Atrisinājums

Der, piemēram, \((0 ; 0 ; 0)\) un \((10 ;-4 ;-25)\). Pārbaudām, ka šie skaitlu trijnieki atbilst nosacījumiem:

• \(972^{0} \cdot 32^{0} \cdot 9^{0}=1 \cdot 1 \cdot 1=1\);
• \(972^{10} \cdot 32^{-4} \cdot 9^{-25}=\left(2^{2} \cdot 3^{5}\right)^{10} \cdot\left(2^{5}\right)^{-4} \cdot\left(3^{2}\right)^{-25}=2^{20} \cdot 3^{50} \cdot 2^{-20} \cdot 3^{-50}=2^{0} \cdot 3^{0}=1 \cdot 1=1\).

Piezīme. Ir bezgalīgi daudz veselu skaitlu trijnieku, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem. Vispārīgo atrisinājumu var atrast, sadalot skaitlus \(972=2^{2} \cdot 3^{5} ; 32=2^{5}\) un \(9=3^{2}\) pirmreizinātājos un ievietojot tos dotajā vienādībā: \(2^{2a+5b} \cdot 3^{5a+2c}=2^{0} \cdot 3^{0}\). No tā iegūstam lineāru vienādojumu sistēmu (kāpinātājiem pie vienādām bāzēm jābūt vienādiem):

\[\left\{\begin{array} { l } { 2 a + 5 b = 0 } \\ { 5 a + 2 c = 0 } \end{array} \text { jeb } \left\{\begin{array}{l} 5 b=-2 a \\ 2 c=-5 a \end{array}\right.\right.\]

No iegūtās sistēmas pirmā vienādojuma redzams, ka \(-2 a\) dalās ar \(5\), tātad \(a\) dalās ar 5; no trešā vienādojuma redzams, ka \(-5a\) dalās ar \(2\), tātad \(a\) dalās ar 2 . Tātad \(a=10k\), kur \(k\) ir vesels skaitlis, \(b=-4k\) un \(c=-25k\). Tātad der visi skaitlu trijnieki (\(10k; -4k; -25k\)), kur \(k\) ir jebkurš vesels skaitlis.