Doti tādi naturāli skaitļi \(a, b\) un \(c\), ka skaitlis \(\frac{a \sqrt{2}+b}{b \sqrt{2}+c}\) ir racionāls. Pierādīt, ka \(ab + bc + ac\) dalās ar \(a+b+c\).
Dotās daḷas skaitītāju un saucēju reizinām ar saucēja saistīto izteiksmi
\[\frac{a \sqrt{2}+b}{b \sqrt{2}+c} = \frac{(a \sqrt{2}+b)(b \sqrt{2}-c)}{(b \sqrt{2}+c)(b \sqrt{2}-c)}=\frac{2 a b-b c+\sqrt{2}\left(b^{2}-a c\right)}{2 b^{2}-c^{2}}\]
Tā kā skaitlis ir racionāls, tad skaitītājā jābūt veselam skaitlim (jo saucējā ir vesels skaitlis), tāpēc \(b^{2} - ac=0\) jeb \(b^{2} = ac\). Tādā gadījumā \(ab+bc+ca=ab+bc+b^{2}=b(a+b+c)\) un tas dalās ar \(a+b+c\).