Atrisinājums

No pirmās vienādības iegūstam:

\[\begin{aligned} & a^{2}+c-b c=b^{2}+a-a c \\ & a^{2}-b^{2}+a c-b c=a-c \\ & (a-b)(a+b+c)=a-c \end{aligned}\]

Ja \(a=b\), tad no iegūtās vienādības izriet, ka \(a=c\), tātad \(a=b=c\). Tāpēc pieṇemsim, ka \(a \neq b\). Līdzīgi no pārējām divām vienādībām iegūstam:

\[\begin{aligned} & (b-c)(a+b+c)=b-a \\ & (a-c)(a+b+c)=b-c \end{aligned}\]

Reizinot iegūtās vienādības, iegūstam

\[\begin{gathered} (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)^{3}=(a-c)(b-a)(b-c) \\ (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)^{3}=-(a-c)(a-b)(b-c) \end{gathered}\]

N̦emot vērā, ka nekādi divi no skaitliem \(a, b\) un \(c\) nav vienādi, iegūstam, ka

\[(a+b+c)^{3}=-1 \quad \Rightarrow \quad a+b+c=-1\]

Tādā gadījumā

\[\begin{gathered} (a-b)(a+b+c)=a-c \\ \frac{(a-b)(-1)=a-c}{} b \\ b+c-2 a=0 \\ b+c+a-3 a=0 \Rightarrow a=-\frac{1}{3} \end{gathered}\]

Līdzīgi iegūst, ka \(b=-\frac{1}{3}\), bet tā ir pretruna ar pieṇ̄mumu, ka \(a \neq b\). Tātad noteikti \(a=b=c\).