Atrisinājums

Ievērojam, ka vienādojums ir simetrisks attiecībā pret \(a, b, c\) vērtībām, tāpēc, nezaudējot vispārīgumu, var pieṇemt, ka \(a \leq b \leq c\). Abas vienādojuma puses dalot ar \(a b c>0\), iegūstam \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=3\). Ja \(a \geq 3\), tad

\[ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)<\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{64}{27}<3 \]

Tātad, ja \(a \geq 3\), tad vienādojumam atrisinājuma nav. Aplūkosim atlikušos gadījumus, kad \(a=1\) vai \(a=2\). Ja \(a=1\), tad iegūstam:

\[ \begin{gathered} 2(b+1)(c+1)=3 b c \\ 2 b c+2 b+2 c+2=3 b c \\ b c-2 b-2 c+4=6 \\ (b-2)(c-2)=6 \end{gathered} \]

Iespējamie atrisinājumi (nemot vērā, ka \(b \leq c\) ) ir \(b=3, c=8\) un \(b=4, c=5\). Ja \(a=2\), tad iegūstam

\[ \begin{gathered} 3(b+1)(c+1)=6 b c \\ b c+b+c+1=2 b c \\ b c-b-c+1=2 \\ (b-1)(c-1)=2 \end{gathered} \]

Iespējamais atrisinājums (ṇemot vērā, ka \(b \leq c\) ) ir \(b=2\) un \(c=3\). Līdz ar to esam aplūkojuši visus iespējamos gadījumus un ieguvuši atrisinājumus \((1 ; 3 ; 8),(1 ; 4 ; 5)\) un \((2 ; 2 ; 3)\). Sākotnēji pieņēmām, ka \(a \leq b \leq c\). Tātad der jebkura iepriekšminēto atrisinājumu skaitlu permutācija un pavisam ir 15 atrisinājumi: | \((1;3;8)\) | \((1;8;3)\) | \((3;1;8)\) | \((3;8;1)\) | \((8;1;3)\) | \((8;3;1)\) | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | \((1;4;5)\) | \((1;5;4)\) | \((4;1;5)\) | \((4;5;1)\) | \((5;1;4)\) | \((5;4;1)\) | | \((2;2;3)\) | \((2;3;2)\) | \((3;2;2)\) | | | |