LV.NOL.2025.10.3 lv
Uz trijstūra \(ABC\) malām \(AC\) un \(BC\) ir atlikti attiecīgi punkti \(F\) un \(E\) tā, ka \(2CF = FA\) un \(2CE = EB\). Ārpus trijstūra \(ABC\) uz stariem \(AE\) un \(BF\) ir atlikti attiecīgi punkti \(K\) un \(L\) tā, ka \(2KE = EA\) un \(2LF=FB\). Pierādīt, ka \(ABKL\) ir paralelograms!
Atrisinājums
Ievērojam divu trijstūru pāru līdzību pēc pazīmes \(m \ell m\) (skat. 5. att.).
- \(\triangle AEB \sim \triangle KEC\), jo \({\displaystyle \frac{AE}{KE}=\frac{EB}{EC}=2}\), \(\sphericalangle AEB=\sphericalangle KEC\). Tātad \(AB = 2KC\) un \(\sphericalangle EAB = \sphericalangle EKC\). Līdz ar to \(AB \| KC\), jo iekšējie šķērsleṇki ir vienādi.
- \(\triangle BFA \sim \triangle LFC\), jo
\({\displaystyle \frac{BF}{LF}=\frac{FA}{FC}=2}\), \(\sphericalangle BFA=\sphericalangle LFC\). Tātad \(AB = 2CL\) un \(\sphericalangle FBA=\sphericalangle FLC\). Līdz ar to \(AB \| CL\), jo iekšējie šķērsleṇķi ir vienādi.
Tā kā \(AB \| KC\) un \(AB \| CL\), tad \(C \in KL\) un \(AB \| KL\), turklāt \(2KC = AB = 2CL = KL\). Esam ieguvuši, ka četrstūra \(ABKL\) divas pretējās malas ir vienādas un paralēlas, tātad \(ABKL\) ir paralelograms.
