Atrisinājums

Ievērojam, ka \(18=18 \cdot 1=9 \cdot 2=6 \cdot 3=3 \cdot 3 \cdot 2\). Ja skaitlis \(n\) sadalās pirmreizinātājos kā \(n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \ldots p_{m}^{k_{m}}\), tad tā dalītāju skaits ir \(d(n)=\left(k_{1}+1\right) \cdot\left(k_{2}+1\right) \cdot \ldots \cdot\left(k_{m}+1\right)\). No tā izriet, ka skaitli, kuram ir tieši 18 dalītāji, var uzrakstīt vienā no formām:

\[p_{1}^{17}, \quad p_{1}^{8} \cdot p_{2}, \quad p_{1}^{5} \cdot p_{2}^{2}, \quad p_{1}^{2} \cdot p_{2}^{2} \cdot p_{3}\]

Skaitlim jādalās ar \(7\), tāpēc kādam no pirmreizinātājiem ir jābūt \(7\), un tā kā meklējam mazāko skaitli, tad kā citi reizinātāji jāaplūko mazākie pirmskaitļi ar vislielāko pakāpi. Apskatām visus gadījumus: - \(p_{1}=7\), tad iegūstam skaitli \(7^{17}>252\); - \(p_{1}=2\) un \(p_{2}=7\), tad iegūstam skaiti \(2^{8} \cdot 7=256 \cdot 7=1792\); - \(p_{1}=2\) un \(p_{2}=7\), tad iegūstam skaiti \(2^{5} \cdot 7^{2}=32 \cdot 49=1568\); - \(p_{1}=2, p_{2}=3\) un \(p_{3}=7\), tad iegūstam skaiti \(2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7=36 \cdot 7=252\). Tātad vismazākais naturālais skaitlis, kuram ir tieši 18 dažādi naturāli dalītāji un kas dalās ar \(7\), ir \(252\).