Atrisinājums

Izmantojot bisektrises īpašību trijstūrī \(A B E\) (skat. 8. att.), iegūstam, ka \(\frac{A B}{A E}=\frac{B D}{D E}=\frac{3}{4}\). Apzīmējam \(A B=3 x\) un \(A E=4 x\). Pēc Pitagora teorēmas \(\triangle A B E\) iegūstam:

\[AE^{2}=A B^{2}+B E^{2} \quad \Rightarrow \quad 16 x^{2}=9 x^{2}+49 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt{7} \quad \Rightarrow \quad A B=3 \sqrt{7} ; A E=4 \sqrt{7}.\]

 Izmantojot bisektrises īpašību \(\triangle A B E\), iegūstam, ka \(\frac{A C}{E C}=\frac{A B}{B E}=\frac{3 \sqrt{7}}{7}\). Apzīmējot \(A C=3 \sqrt{7} a\) un \(E C=7 a\) un lietojot Pitagora teorēmu \(\triangle A B C\), iegūstam:

\[\begin{aligned} & A B^{2}+B C^{2}=A C^{2} \Rightarrow(3 \sqrt{7})^{2}+(7+7 a)^{2}=(3 \sqrt{7} a)^{2} \Rightarrow \Rightarrow 9 \cdot 7+7^{2}+2 \cdot 7^{2} a+7^{2} a^{2}=9 \cdot 7 a^{2} \\ & 9+7+14 a+7 a^{2}=9 a^{2} \Rightarrow a^{2}-7 a-8=0 \Rightarrow a=8 \text { vai } a=-1 \text { (neder). } \end{aligned} \]

Lídz ar to esam ieguvuši, ka \(EC=7a=56\).