LV.NOL.2024.10.1 lv
Dotas divas riṇka līnijas \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\), kas krustojas punktos \(X\) un \(Y\). Taisne \(t_{1}\), kas vilkta caur \(X\), krusto \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) attiecīgi punktos \(A\) un \(B\) (punkts \(X\) atrodas starp \(A\) un \(B\)), savukārt taisne \(t_{2}\), kas vilkta caur \(Y\), krusto \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) attiecīgi punktos \(C\) un \(D\) (punkts \(Y\) atrodas starp \(C\) un \(D\)). Pierādīt, ka \(AC\) ir paralēla ar \(BD\)!
Atrisinājums
Apzīmējam \(\sphericalangle ACY = \alpha\) (skat. 4. att.). Tā kā četrstūris \(CAXY\) ir ievilkts četrstūris, tad tā pretējo lenku summa ir \(180^{\circ}\), tātad \(\sphericalangle A X Y=180^{\circ}-\alpha\). Ievērojam, ka \(\sphericalangle B X Y=180^{\circ}-\sphericalangle A X Y=\alpha\) (blakusleṇku īpašība). Tā kā četrstūris \(BDYX\) ir ievilkts četrstūris, tad tā pretējo leṇ̂u summa ir \(180^{\circ}\). Tātad \(\sphericalangle BDY=180^{\circ}-\sphericalangle BXY=180^{\circ}-\alpha\). Tā kā \(\sphericalangle ACY+\sphericalangle BDY=\alpha+180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}\) un tie ir iekšējie vienpusleṇki pie taisnēm \(A C\) un \(B D\), kuras krusto taisne \(t_{2}\), tad \(AC \| BD\).
