LV.NOL.2023.8.2 en lv
Pasākumā satikās \(m\) cilvēki. Katrs no tiem draudzējas ar tieši \(3\) citiem cilvēkiem (ja \(A\) draudzējas ar \(B\), tad \(B\) draudzējas ar \(A\)). Zināms, ka no katriem trim cilvēkiem var atrast divus, kuri savā starpā nedraudzējas. Vai var gadīties, ka (A) \(m=11\), (B) \(m=10\)?
Atrisinājums
(A) Nē, nevar. Cilvēkus iedomāsimies kā punktus, bet draudzības kā nogriežņus, kas šos punktus savieno. Tā kā no katra punkta iziet tieši \(3\) nogriežņi un katru nogriezni ieskaitām divas reizes (nogrieznis \(AB\) un \(BA\) ir viens un tas pats nogrieznis), tad kopējais nogriežņu skaits ir \(11 \cdot 3: 2=16,5\). Iegūta pretruna, jo nogriežņu skaitam ir jābūt naturālam skaitlim.
Piezīme. Pretrunu var iegūt arī, ja skaita nogriežņu galus - tā kā no katra punkta iziet \(3\) nogriežņi, tad kopā ir \(11 \cdot 3=33\) nogriežņu gali, bet katram nogrieznim ir divi gali, tātad kopā jābūt pāra skaitam nogriežņu galu.
(B) Jā, var gadīties, piemēram, skat. 20. att. Dotajā piemērā dalībnieki sadalīti divās grupās pa pieciem dalībniekiem tā, ka katrs pirmās grupas dalībnieks draudzējas ar tieši trīs dalībniekiem no otrās grupas, bet nedraudzējas ar nevienu savas grupas dalībnieku. Tā kā starp jebkuriem trīs dalībniekiem vismaz divi atrodas vienā grupā, tad tie savā starpā nedraudzējas un uzdevuma nosacījumi izpildās.
