Cik ir tādu naturālu skaitļu \(n\), kuriem skaitlim \(n^{2}\) ir tikpat ciparu, cik skaitlim \(n^{3}\)?
Ir trīs skaitli, kam izpildās uzdevuma nosacījumi, šie skaitḷi ir \(1\); \(2\) un \(4\), jo \(1^{2}=1^{3}=1\); \(2^{2}=4\) un \(2^{3}=8\) visi ir vienciparu skaitli, un \(4^{2}=16\) un \(4^{3}=64\) abi ir divciparu skaitļi. Pamatosim, ka citu derīgu \(n\) vērtību nav.
Skaitlis \(3\) neder, jo \(3^{2}=9\), bet \(3^{3}=27\).
Skaitļu no \(5\) līdz \(9\) kvadrāti ir divciparu skaitli, jo \(5^{2}=25\) un \(9^{2}=81\) abi ir divciparu, tātad arī skaitļu \(6\); \(7\); \(8\) kvadrāti ir divciparu skaitli. Šo skaitļu kubi ir trīsciparu skaitļi, jo \(5^{3}=125\) un \(9^{3}=729\) abi ir trīsciparu, tātad pa vidu esošo skaitļu kubi arī ir trīsciparu skaitļi.
Skaitḷiem, kas lielāki nekā \(9\), lai no skaitļa kvadrāta iegūtu skaitļa kubu, tie jāreizina ar pašu skaitli, tātad vismaz ar \(10\). Tādā gadījumā skaitḷa kuba ciparu skaits ir vismaz par \(1\) lielāks nekā šī skaitļa kvadrāta ciparu skaits.