LV.NOL.2023.12.3 en lv
Dots vienādsānu trijstūris \(ABC\), kuram \(AB=AC\) un \(\sphericalangle BAC < 60^{\circ}\). Rinķa līnija, kuras centrs ir punktā \(B\) un rādiuss \(BC\), krusto trijstūra malas \(AC\) un \(AB\) attiecīgi punktos \(D\) (kas nesakrīt ar \(C\)) un \(E\). Pierādīt, ka \(AD < 2AE\).
Atrisinājums
Trijstūri \(ABC\) un \(BCD\) ir vienādsānu trijstūri (\(AB=AC\) pēc dotā un \(BC=BD\) kā rādiusi), turklāt leņķi pie pamata abiem trijstūriem ir vienādi (\(\sphericalangle A C B\) ir kopīgs abiem trijstūriem, skat. 15. att.). Tātad \(\triangle BCD \sim \triangle ABC\) pēc pazīmes \(\ell \ell\).
Līdzīgos trijstūros atbilstošo malu garumi ir proporcionāli, tāpēc
\[\begin{aligned} \frac{AB}{BC}= & \frac{BC}{DC} \quad \Rightarrow \quad \frac{AE+EB}{BC}=\frac{BC}{AE+EB-AD} \\ & (AE+EB)(AE+EB-AD)=BC^{2} \end{aligned}\]
Tā kā \(BC=EB\) kā rādiusi, tad\[\begin{gathered} AE^{2}+2AE \cdot BC + BC^{2} - AD \cdot AE - AD \cdot BC=BC^{2} \\ AE^{2}+2AE \cdot BC = AD(AE+BC) \\ 2AE(AE+BC)-AE^{2}=AD(AE+BC) \end{gathered}\]
Dalot abas vienādības puses ar \((AE+BC)\), iegūstam, ka\[AD=2AE-\frac{AE^{2}}{AE+BC} \quad \Rightarrow \quad AD<2AE\]
