Pierādīt, ka \(x^{2}+y^{2}+\frac{1}{2} \geq x+y\) visiem reāliem \(x\) un \(y\).
Reizinām abas nevienādības puses ar \(4\) un veicam ekvivalentus pārveidojumus:
\[\begin{gathered} 4 x^{2}-4 x+4 y^{2}-4 y+2 \geq 0 \\ \left(4 x^{2}-4 x+1\right)+\left(4 y^{2}-4 y+1\right) \geq 0 \\ (2 x-1)^{2}+(2 y-1)^{2} \geq 0 \end{gathered}\]
Tā kā divu kvadrātu summa ir nenegatīva, tad iegūtā nevienādība ir patiesa, tātad arī sākotnējā nevienādība ir patiesa.