Uzdevums

LV.NOL.2023.10.5 en lv

Volejbola turnīrā katra komanda spēlēja ar katru tieši vienu reizi; neizšķirtu nav. Ir zināms: lai kuru komandu mēs izvēlētos (apzīmēsim to ar \(K\)), tā ir izcīnījusi tieši tikpat uzvaru, cik kopā izcīnījušas visas tās komandas, pret kurām \(K\) uzvarēja. Kāds var būt komandu skaits, kas piedalījās šajā turnīrā? (Nevienā turnīrā nav mazāk kā \(2\) komandas.)

Hide solution

en lv

Solution

There could have been \(3\) or \(4\) teams in the tournament; for example, see Fig. 6 for suitable match outcomes, where the number \(1\) indicates a win for the row team against the column team, and the number \(0\) indicates a loss (for example, in the three-team case, team \(A\) beat team \(B\) and lost to team \(C\)). Let us justify that no other number of teams is possible. The number of teams cannot be \(2\), since then there is only one game with a winner and a loser.

Note that \(x\) teams together play \((x-1)+(x-2)+\cdots+2+1=\frac{x(x-1)}{2}\) games and achieve the same number of wins. Since on average there are \(\frac{x-1}{2}\) wins per team, there is a team with at least \(\frac{x-1}{2}\) wins (otherwise the total number of wins would be less than \(\frac{x(x-1)}{2}\)).

Let \(x\) be the number of teams in the tournament and suppose that the largest number of wins by a single team is \(y\); denote this team by \(A\). The \(y\) teams that lost to \(A\) played among themselves \(\frac{y(y-1)}{2}\) games, in which \(\frac{y(y-1)}{2}\) wins were achieved; besides, they may have some other wins as well. Therefore \(y \geq \frac{y(y-1)}{2}\), from which it follows that \(y \leq 3\).

Consider all possible values of \(y\).

If \(y=3\), then \(A\) has \(3\) wins against \(B\), \(C\), \(D\). Thus among \(B\), \(C\), and \(D\) there are also \(3\) wins in total. If there were another team \(E\), then it would have beaten \(A\) as well as \(B\), \(C\), and \(D\) (otherwise \(B\), \(C\), and \(D\) together would have more than \(3\) wins), which contradicts the fact that \(A\) has the largest number of wins. Thus in this case there are no other teams, and there are \(4\) teams in the tournament.
If \(y=2\), then from the previously obtained inequality \(y \geq \frac{x-1}{2}\) it follows that \(x \leq 5\). We only need to determine whether \(x=5\) is possible. If \(x=5\), then \(10\) games are played and \(10\) wins are achieved. If the largest number of wins is \(2\), then each team has \(2\) wins, which contradicts the problem’s condition. Therefore \(x \neq 5\).
If \(y=1\), then from \(y \geq \frac{x-1}{2}\) it follows that \(x \leq 3\). Thus there are no possibilities other than those given at the beginning.

Atrisinājums

Turnīrā varēja piedalīties \(3\) vai \(4\) komandas, piemēram, atbilstošu spēļu norisi skat. 6.att., kur skaitlis \(1\) norāda rindā rakstītās komandas atbilstošās uzvaras pret komandām, kas rakstītas kolonnā, skaitlis \(0\) norāda zaudējumu (piemēram, trīs komandu gadījumā komanda \(A\) ir uzvarējusi komandu \(B\) un zaudējusi komandai \(C\)). Pamatosim, ka cits komandu skaits nav iespējams. Komandu skaits nevar būt \(2\), jo tad ir tikai viena spēle, kurā ir uzvarētājs un zaudētājs.

Ievērosim, ka \(x\) komandas savā starpā kopā izspēlē \((x-1)+(x-2)+\cdots+2+1=\frac{x(x-1)}{2}\) spēles un izcīna tikpat uzvaras. Tā kā vidēji uz vienu komandu ir \(\frac{x-1}{2}\) uzvaras, tad ir komanda ar vismaz \(\frac{x-1}{2}\) uzvarām (ja šādas komandas nebūtu, tad kopējais uzvaru skaits būtu mazāks nekā \(\frac{x(x-1)}{2}\)).

Apzīmēsim turnīra komandu skaitu ar \(x\) un pieņemsim, ka lielākais uzvaru skaits vienai komandai ir \(y\); apzīmēsim šo komandu ar \(A\). Tās \(y\) komandas, kas zaudējušas pret \(A\), savā starpā spēlējušas \(\frac{y(y-1)}{2}\) spēles, kurās izcīnītas \(\frac{y(y-1)}{2}\) uzvaras; bez tam viņām varbūt ir vēl kādas citas uzvaras. Tāpēc \(y \geq \frac{y(y-1)}{2}\), no kurienes izriet, ka \(y \leq 3\).

Apskatām visas iespējamās \(y\) vērtības.

Ja \(y=3\), tad A izcīnījusi \(3\) uzvaras pret \(B\), \(C\), \(D\). Tātad \(C\) un \(D\) savā starpā arī ir \(3\) uzvaras. Ja būtu vēl kāda komanda \(E\), tad tā ir uzvarējusi gan pret \(A\), gan pret \(B\), \(C\), \(D\) (citādi \(B\), \(C\), \(D\) kopā būtu vairāk par \(3\) uzvarām), un tā ir pretruna ar to, ka \(A\) ir vislielākais uzvaru skaits. Tātad šajā gadījumā citu komandu nav, un turnīrā piedalās \(4\) komandas.
Ja \(y=2\), tad no iepriekš iegūtās nevienādības \(y \geq \frac{x-1}{2}\) izriet, ka \(x \leq 5\). Mums tikai jānoskaidro, vai var būt, ka \(x=5\). Ja \(x=5\), tad tiek izspēlētas \(10\) spēles un izcīnītas \(10\) uzvaras. Ja lielākais uzvaru skaits ir \(2\), tad visām komandām ir pa \(2\) uzvarām, un tā ir pretruna ar uzdevuma nosacījumiem. Tāpēc \(x \neq 5\).
Ja \(y=1\), tad no \(y \geq \frac{x-1}{2}\) izriet, ka \(x \leq 3\). Tātad citu iespēju bez sākumā uzrādītajām nav.