Atrisinājums

Skaitli \(12^{4}\) varam izteikt kā \(12^{4}=(4 \cdot 3)^{4}=2^{8} \cdot 3^{4}\). Tātad jāpierāda, ka jebkuru \(11\) pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu reizinājums dalās ar \(3^{4} \cdot 2^{8}\). levērojam, ka katrs otrais no pēc kārtas sekojošiem naturāliem skaitļiem dalās ar \(2\) (ir pāra skaitlis), katrs trešais - dalās ar \(3\), katrs ceturtais - dalās ar \(4\) utt.

Tas nozīmē, ka no \(11\) pēc kārtas sekojošiem naturāliem skaitļiem vismaz \(5\) ir pāra skaitļi, no kuriem vismaz divi dalās ar \(4\) un no kuriem viens dalās ar \(8\) , tātad šo piecu pāra skaitļu reizinājums dalās ar \(8 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2=2^{8}\). Tā kā no \(11\) pēc kārtas sekojošiem naturāliem skaitļiem vismaz trīs dalās ar \(3\) , no kuriem viens dalās ar \(9\) , tad to reizinājums dalās ar \(9 \cdot 3 \cdot 3=3^{2} \cdot 3 \cdot 3=3^{4}\). Tātad šo \(11\) skaitļu reizinājums dalās ar \(2^{8} \cdot 3^{4}=12^{4}\).