Atrisinājums

Pamatosim, ka dotajam vienādojumam ir vesela sakne tikai tad, ja \(m\) ir vesels skaitlis. Izmantojot formulu \(D=b^{2}-4ac\), iegūstam, ka dotā vienādojuma diskriminants ir

\[D=(2m+3)^{2}-4 \cdot 2 \cdot 3m=4m^{2}+12m+9-24m=4m^{2}-12m+9=(2m-3)^{2}\]

Izmantojot formulu \(x_{1; 2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\), izsakām dotā vienādojuma saknes: \(x_{1; 2}=\frac{-2m-3\pm|2 m-3|}{2a}\). legūstam, ka vienādojuma viena sakne ir \(x_{1}=\frac{-2m-3+2m-3}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}\), bet otra sakne \(x_{2}=\frac{-2m-3-2m+3}{4}=\frac{-4m}{4}=-m\). Ja \(m\) ir vesels skaitlis, tad vismaz viena no dotā vienādojuma saknēm ir vesels skaitlis. Ja \(m\) nav vesels skaitlis, tad abas vienādojuma saknes nav veseli skaitļi. \(Piezīme.\) Vienādojuma saknes var atrast arī ekvivalenti pārveidojot vienādojuma kreiso pusi:

\[2x^{2}+(2 m+3)x+3m=2x^{2}+2mx+3x+3m=(m+x)(2x+3)\]