Atrisinājums

levērojam, ka \(240=3 \cdot 5 \cdot 16\). Pārveidojam doto izteiksmi:

\[p^{4}-1=\left(p^{2}-1\right)\left(p^{2}+1\right)=(p-1)(p+1)\left(p^{2}+1\right)\]

Tā kā visi pirmskaitļi, kas lielāki nekā \(2\), ir nepāra skaitļi, tad visi trīs reizinātāji ir pāra skaitļi, tātad katrs no tiem dalās ar \(2\). Ņemot vērā, ka \(p-1\) un \(p+1\) ir divi secīgi pāra skaitļi, tad viens no tiem dalās ar \(4\). Līdz ar to \(p^{4}-1\) dalās ar \(2 \cdot 4 \cdot 2=16\). Pirmskaitlis \(p \geq 7\) nedalās ar \(3\), tātad vai nu \(p-1\), vai \(p+1\) dalās ar \(3\), jo \(p-1\), \(p\) un \(p+1\) ir trīs secīgi skaitļi. Līdz ar to \(p^{4}-1\) dalās ar \(3\). Jebkurš pirmskaitlis, kas lielāks nekā \(5\), dalot ar \(5\), dod atlikumu atškirīgu no \(0\). Apskatām visus iespējamos gadijumus: - ja \(p\) atlikums, dalot ar \(5\), ir \(1\), tad pirmskaitlis \(p\) ir uzrakstāms formā \(p=5k+1\) un \(p-1=5k+1-1=5k\), kas dalās ar \(5\); - ja \(p\) atlikums, dalot ar \(5\), ir \(2\), tad pirmskaitlis \(p\) ir uzrakstāms formā \(p=5k+2\) un \(p^{2}+1=(5k+2)^{2}+1=25k^{2}+20k+5=5\left(5k^{2}+4k+1\right)\), kas dalās ar \(5\); - ja \(p\) atlikums, dalot ar \(5\), ir \(3\) , tad pirmskaitlis \(p\) ir uzrakstāms formā \(p=5k+3\) un \(p^{2}+1=(5k+3)^{2}+1=25k^{2}+20k+10=5\left(5k^{2}+4 k+2\right)\), kas dalās ar \(5\); - ja \(p\) atlikums, dalot ar \(5\), ir \(4\), tad pirmskaitlis \(p\) ir uzrakstāms formā \(p=5k+4\) un \(p+1=5k+5\), kas dalās ar \(5\) . Tātad \(p^{4}-1\) dalās ar \(5\). Esam ieguvušì, ka \(p^{4}-1\) dalās ar \(3\), \(5\) un \(16\). Tā kā šie skaitļi ir savstarpēji pirmskaitļi, tad \(p^{4}-1\) dalās ar \(240\). \(Piezīmes\) 1. Pierādīt, ka \(p^{4}-1\) dalās ar \(5\) , var izmantojot kongruences: - ja \(p \equiv 1(\bmod 5)\), tad \(p^{4}-1 \equiv 1^{4}-1 \equiv 0(\bmod 5)\); - ja \(p \equiv 2(\bmod 5)\), tad \(p^{4}-1 \equiv 2^{4}-1 \equiv 15 \equiv 0(\bmod 5)\); - ja \(p \equiv 3(\bmod 5)\), tad \(p^{4}-1 \equiv 3^{4}-1 \equiv 80 \equiv 0(\bmod 5)\); - ja \(p \equiv 4(\bmod 5)\), tad \(p^{4}-1 \equiv 4^{4}-1 \equiv 255 \equiv 0(\bmod 5)\). 2. Lai pierādītu, ka \(n^{4}-1\) dalās ar \(5\), var izmantot arī mazo Fermā teorēmu: ja skaitlis \(a\) nedalās ar pirmskaitli \(n\), tad \(a^{n-1}-1\) dalās ar \(n\).