Atrisinājums

Bisektrišu krustpunktu apzīmējam ar \(F\) (skat. 14.att.). Apzīmējam \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle ACB=\alpha\) un \(\sphericalangle CBD=\sphericalangle CDB=\beta\) kā leņki pie pamata vienādsānu trijstūrī \(BAC\) un \(BCD\). Tad \(\sphericalangle AED=\sphericalangle BEC=\) \(=180^{\circ}-\sphericalangle ACB-\sphericalangle CBD=180^{\circ}-\alpha-\beta\).

No četrstūra \(ABCD\) iekšējo leņķu summas iegūstam

\[\sphericalangle BAD+\sphericalangle CDA=360^{\circ}-\sphericalangle ABC-\sphericalangle BCD=360^{\circ}-\left(180^{\circ}-2 \alpha\right)-\left(180^{\circ}-2 \beta\right)=2(\alpha+\beta)\]

Tad pēc bisektrises definīcijas \(\sphericalangle FAD+\sphericalangle FDA=\frac{1}{2}(\sphericalangle BAD+\sphericalangle CDA)=\alpha+\beta\). No trijstūra \(AFD\) iegūstam, ka \(\sphericalangle AFD=180^{\circ}-(\sphericalangle FAD+\sphericalangle FDA)=180^{\circ}-\alpha-\beta\). Tātad divi vienlieli leņķi \(\sphericalangle AED\) un \(\sphericalangle AFD\) balstās uz viena nogriežņa \(AD\). Līdz ar to ap četrstūri \(AFED\) var apvilkt riņka līniju, un esam pierādījuši, ka uz trijstūrim \(ADE\) apvilktās riņķa līnijas atrodas arī punkts \(F\).