Zināms, ka \(x\) un \(y\) ir naturāli skaitļi un \(x+y\) dalās ar \(5\). Pierādīt, ka \(x^{5}+y^{5}\) dalās ar \(25\).
Apskatām izteiksmi \((x+y)^{5}\) un to ekvivalenti pārveidojam:
\((x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}=\left(x^{5}+y^{5}\right)+5xy\left(x^{3}+y^{3}\right)+10x^{2}y^{2}(x+y)=\)
\(=\left(x^{5}+y^{5}\right)+5xy(x+y)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)+10x^{2}y^{2}(x+y)=\)
\(\quad=\left(x^{5}+y^{5}\right)+5xy(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}+2xy\right)\)
Izsakot \(x^{5}+y^{5}\), iegūstam
\(\quad x^{5}+y^{5}=(x+y)^{5}-5(x+y)xy\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)\)
Tā kā pēc dotā \(x+y\) dalās ar \(5\), tad izteiksmes labajā pusē abi saskaitāmie dalās ar \(25\), tātad izteiksmes labā puse dalās ar \(25\). Līdz ar to arī izteiksmes kreisajai pusei jādalās ar \(25\).