Atrisinājums

Vispirms pamatosim, ka \(S_{AED}=S_{BEC}\) (skat. 9.att.). Tā kā trapeces pamati ir paralēli, tad \(S_{ACD}=S_{BCD}\), jo trijstūriem ir kopīga mala \(CD\) un augstumi pret šo malu ir vienāda garuma. No abām vienādības pusēm atņemot trijstūra \(DEC\) laukumu, iegūstam, ka \(S_{ACD}-S_{DEC}=S_{BCD}-S_{DEC}\) no kā izriet, ka \(S_{AED}=S_{BEC}\).

Apzīmējam \(S_{AED}=S_{BEC}=c, S_{ABE}=a\) un \(S_{DEC}=b\). Tādā gadījumā \(S_{ABC}=a+c\) un \(S_{ABCD}=a+b+2c\).

Apzīmējam attālumu no virsotnes \(B\) līdz malai \(AC\) ar \(h\) un attālumu no virsotnes \(D\) līdz malai \(AC\) ar \(H\) un apskatām laukumu attiecību:

\(\frac{S_{ABE}}{S_{AED}}=\frac{\frac{1}{2} AE \cdot h}{\frac{1}{2} AE \cdot H}=\frac{h}{H} \quad\) un \(\quad \frac{S_{EBC}}{S_{EDC}}=\frac{\frac{1}{2} EC \cdot h}{\frac{1}{2} EC \cdot H}=\frac{h}{H}\)

Tātad \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\) no kā iegūstam, ka \(ab=c^{2}\). Līdz ar to

\[S_{ABE} \cdot S_{ABCD}=a(a+b+2c)=a^{2}+ab+2ac=a^{2}+c^{2}+2ac=(a+c)^{2}=S_{ABC}^{2}\]