Atrisinājums

Ekvivalenti pārveidojam doto vienādojumu \(x^{4}-3x^{3}-3x^{2}-3x-4=0\).

Uzminam, ka \(x=-1\) ir vienādojuma sakne, jo \(1+3-3+3-4=0\). Izdalot polinomus (skat. 8.att.), iegūstam \((x+1)\left(x^{3}-4 x^{2}+x-4\right)=0\).

Katru reizinātāju pielīdzinot nullei, iegūstam, ka \(x+1=0\) vai \(x^{3}-4x^{2}+x-4=0\). Lineārā vienādojuma sakne ir \(x=-1\), bet trešās pakāpes vienādojumu risinām ar grupēšanas paņēmienu:

\[\begin{gathered} x^{2}(x-4)+(x-4)=0 \\ (x-4)\left(x^{2}+1\right)=0 \end{gathered}\]

Tātad \(x=4\), bet vienādojumam \(x^{2}=-1\) reālu sakņu nav. Līdz ar to dotā vienādojuma saknes ir \(x_{1}=-1\) un \(x_{2}=4\).

\[\begin{aligned} & \left(x^{4}-3x^{3}-3x^{2}-3x-4\right):(x+1)=x^{3}-4x^{2}+x-4 \\ & \frac{x^{4}+x^{3}}{-4 x^{3}-3 x^{2}}-3x-4 \\ & \frac{-4x^{3}-4x^{2}}{x^{2}-3x-4} \end{aligned}\]

 \(Piezīme.\) Vienādojumu var risināt arī ekvivalenti to pārveidojot:

\[\begin{gathered} x^{4}-1=3\left(x^{3}+x^{2}+x\right)+3 \\ x^{4}-1=3\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right) \\ \left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+1\right)=3(x+1)\left(x^{2}+1\right) \end{gathered}\]