Vai izteiksmē \(\pm 1 \pm 2 \pm 3 \ldots \pm 119 \pm 120\) katru " \(\pm\) " zīmi iespējams aizstāt vai nu ar " + ", vai "-" tā, lai izteiksmes vērtība būtu a) 2023, b) 2022? Ja jā, tad kāds ir lielākais iespējamais "+" zīmju skaits attiecīgajā izteiksmē?
Apzīmēsim ar \(P\) - visu skaitļu summu, kuri ir ar " + " zīmi un ar \(M-\) visu to pozitīvo skaitļu summu, pirms kuriem ir "-" zīme. Tad iegūtās izteiksmes vērtība ir vienāda ar \(P-M\). levērojam, ka \(P+M=1+2+3+\cdots+120=\frac{(1+120) \cdot 120}{2}=7260\).
a) Pamatosim, ka iegūtās izteiksmes vērtība nevar būt \(2023\).
Tā kā \(P+M=7260\), tad abi skaitļi \(P\) un \(M\) ir ar vienādu paritāti, tas ir, vai nu abi ir pāra skaitļi, vai arī abi ir nepāra skaitļi. Bet tādā gadījumā to starpība \((P-M)\) ir pāra skaitlis, tātad tas nevar būt \(2023\).
b) Jā, prasītais ir iespējams. Lielākais iespējamais "+" zīmju skaits ir \(95\), piemēram,
\[+1+2+\cdots+14-15+16+17+\cdots+96-97-98-\cdots-120=2022\]
tas ir, \(\frac{(1+96) \cdot 96}{2}-15-15-\frac{(97+120) \cdot 24}{2}=4656-30-2604=2022\). Pamatosim, ka vairāk " + " zīmes nav iespējamas. Saskaitot vienādojumus\[\left\{\begin{array}{l} P-M=2022 \\ P+M=7260 \end{array}\right.\]
iegūstam \(2P=9282\) jeb \(P=4641\). Tad no sistēmas otrā vienādojuma iegūstam, ka \(M=7260-4641=2619\). Ja būtu \(96\) (vai vairāk) "+" zīmes, tad \(P\) būtu lielāks vai vienāds ar mazāko \(96\) naturālo skaitļu summu. Bet tā ir \(1+2+\cdots+95+96=\frac{(1+96) \cdot 96}{2}=4656\), kas ir lielāka nekā \(P=4641\). (Šāds novērtējums var palīdzēt atrast arī augstāk redzamo piemēru. Ja ar " + " zīmi būtu pirmie \(95\) skaitļi, tad \(P=1+2+\cdots+95=\frac{(1+95) \cdot 95}{2}=4560\). Tā kā nepieciešams, lai \(P\) būtu \(4641\), tātad šī summa jāpalielina par \(81\). Lai to izdarītu, pietiek šai summai pievienot \(96\) un no tās izņemt \(15\) (ir, protams, arī citi varianti).