Atrisinājums

Pamatosim, ka mazākā derīgā vērtība ir \(k=4\).

• Vērtība \(k=1\) neder, jo, piemēram, ja \(p=2\), tad \(p+1=3=3^{1}\).
• Vērtība \(k=2\) neder, jo, piemēram, ja \(p=3\), tad \(p+1=4=2^{2}\).
• Vērtība \(k=3\) neder, jo, piemēram, ja \(p=7\), tad \(p+1=8=2^{3}\).

Pamatosim, ka vērtība \(k=4\) der.

Pieņemsim pretējo - ir tāds pirmskaitlis \(p\), ka \(p+1=n^{4}\), kur \(n\) - naturāls skaitlis, kas lielāks nekā \(1\). Tādā gadījumā \(p=n^{4}-1=\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}+1\right)=(n-1)(n+1)\left(n^{2}+1\right)\). Bet jebkurai naturālai \(n\) vērtībai, kas lielāka nekā \(1\), šis skaitlis ir salikts un nevar būt pirmskaitlis. Tātad jebkurai pirmskaitļa \(p\) vērtībai skaitlis \(p+1\) nav naturāla skaitļa ceturtā pakāpe.