Atrisinājums

Nē, nevar gadīties. Tā kā parabolu zari vērsti uz augšu, tad \(a>0\) un \(b>0\). Abi grafiki krusto \(y\) asi punktos, kuru ordinātas ir pozitīvas, tāpēc \(a>0\) un \(c>0\).

Tālāk risinājumu var turpināt trīs veidos.

1. veids. Apskatām abu parabolu virsotņu \(x\) koordinātas:

• funkcijai \(y=a x^{2}+b x+c\) virsotnes \(x\) koordināta ir \(x_{v}=-\frac{b}{2 a}<0\), jo \(a>0\) un \(b>0\);
• funkcijai \(y=b x^{2}+c x+a\) virsotnes \(x\) koordināta ir \(x_{v}=-\frac{c}{2 b}<0\), jo \(b>0\) un \(c>0\).

Iegūta pretruna, jo 1. att. zalajai parabolai (tai, kura krusto \(x\) asi) virsotnes koordināta \(x_{v}>0\).

2. veids. Ievērosim, ka zalajaai parabolai (tai, kura krusto \(x\) asi) ir divas pozitīvas saknes. Bet kvadrātvienādojumam, kam visi trīs koeficienti ir pozitīvi, nevar būt pozitīvas saknes (ja \(A,B,C>0\), tad \(Ax^{2}+Bx+C>0\) visiem pozitīviem \(x\)).

3. veids. Ievērosim, ka zaļajai parabolai (tai, kura krusto \(x\) asi) ir divas pozitīvas saknes \(x_{1}\) un \(x_{2}\). Pienemsim, ka tās vienādojums ir \(y=a x^{2}+b x+c\) (otrs gadījums līdzīgs). Saskaņā ar Vjeta teorēmu \(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}<0\). Iegūta pretruna, jo divu pozitīvu skaitļu summa nevar būt negatīva.