Atrisinājums

Vienīgais pirmskaitlis, ko var izteikt šādā formā, ir 13.

Ja \(n \geq 7\), tad dotajā izteiksmē visas zemmoduļu izteiksmes ir nenegatīvas, tāpēc to var pārrakstīt kā

\[\begin{gathered} |n-1|+|n-2|+|n-3|+|n-4|+|n-5|+|n-6|+|n-7|= \\ =n-1+n-2+n-3+n-4+n-5+n-6+n-7=7 n-28=7 \cdot(n-1) \end{gathered}\]

Visi skaitļi šādā formā nav pirmskaitlli, jo tos var sadalīt reizinātājos. Ja \(n \leq 1\), tad dotajā izteiksmē visas zemmoduļu izteiksmes ir negatīvas vai \(0\), tāpēc to var pārrakstīt kā

\[\begin{gathered} |n-1|+|n-2|+|n-3|+|n-4|+|n-5|+|n-6|+|n-7|= \\ =1-n+2-n+3-n+4-n+5-n+6-n+7-n=28-7 n=7 \cdot(4-n) \end{gathered}\]

Visi skaitli šādā formā nav pirmskaitļi, jo tos var sadalīt reizinātājos. Apskatīsim atlikušās \(n\) vērtības. - Ja \(n=2\), dotajā izteiksmē \(n\) vietā ievieto \(2\) un iegūst

\[\begin{gathered} |2-1|+|2-2|+|2-3|+|2-4|+|2-5|+|2-6|+|2-7|= \\ |1|+|0|+|-1|+|-2|+|-3|+|-4|+|-5|=1+0+1+2+3+4+5=15 \end{gathered}\]

Skaitlis \(15\) nav pirmskaitlis. - Ja \(n=3\), dotajā izteiksmē \(n\) vietā ievieto \(3\) un iegūst

\[\begin{gathered} |3-1|+|3-2|+|3-3|+|2-4|+|3-5|+|3-6|+|3-7|= \\ |2|+|1|+|0|+|-1|+|-2|+|-3|+|-4|=2+1+0+1+2+3+4=13 \end{gathered}\]

Skaitlis \(13\) ir pirmskaitlis. - Ja \(n=4\), dotajā izteiksmē \(n\) vietā ievieto \(4\) un iegūst

\[\begin{gathered} |4-1|+|4-2|+|4-3|+|4-4|+|4-5|+|4-6|+|4-7|= \\ |3|+|2|+|1|+|0|+|-1|+|-2|+|-3|=3+2+1+0+1+2+3=12 \end{gathered}\]

Skaitlis \(12\) nav pirmskaitlis. - Ja \(n=5\), dotajā izteiksmē \(n\) vietā ievieto \(5\) un iegūst

\[\begin{gathered} |5-1|+|5-2|+|5-3|+|5-4|+|5-5|+|5-6|+|5-7|= \\ |4|+|3|+|2|+|1|+|0|+|-1|+|-2|=4+3+2+1+0+1+2=13 \end{gathered}\]

Skaitlis \(13\) ir pirmskaitlis. - Ja \(n=6\), dotajā izteiksmē \(n\) vietā ievieto \(6\) un iegūst

\[\begin{gathered} |6-1|+|6-2|+|6-3|+|6-4|+|6-5|+|6-6|+|6-7|= \\ |5|+|4|+|3|+|2|+|1|+|0|+|-1|=5+4+3+2+1+0+1=16 \end{gathered}\]

Skaitlis \(16\) nav pirmskaitlis. Līdz ar to esam pierādījuši, ka tikai pirmskaitli \(13\) var izteikt prasītajā formā.