Dota aritmētiskā progresija un ǵeometriskā progresija, kurām abām pirmais loceklis ir \(2\). Aritmētiskās progresijas otrais loceklis ir par \(0.25\) lielāks nekā ǵeometriskās progresijas otrais loceklis, bet trešais loceklis abām progresijām ir vienāds. Aprēķināt aritmētiskās progresijas pirmo piecu locekļu summu.
Tā kā dota aritmētiskā progresija 2 ; \(a_{2}\); \(a_{3}\), tad \(a_{2}-2=a_{3}-a_{2}\) un \(a_{3}=2 a_{2}-2\).
No ǵeometriskās progresijas \(2 ; b_{2} ; b_{3}\), iegūstam sakarības \(\frac{b_{2}}{2}=\frac{b_{3}}{b_{2}}\) un \(b_{3}=\frac{b_{2}^{2}}{2}\).
Sastādām vienādojumu \(2 a_{2}-2=\frac{b_{2}^{2}}{2}\).
Ja \(b_{2}=x\), tad \(a_{2}=x+0.25\), līdz ar to esam ieguvuši vienādojumu
\[\begin{gathered} 2(x+0,25)-2=\frac{x^{2}}{2} \\ x^{2}-4 x+3=0 \end{gathered}\]
kura saknes ir \(x_{1}=1\) un \(x_{2}=3\). Tad \(a_{2}=1.25\) un \(a_{2}=3.5\). Līdz ar to diferences ir \(d_{1}=-0.75\) un \(d_{2}=1.5\). Apskatām abus gadījumus: - ja \(d=1.25\), tad aritmētiskās progresijas pirmo piecu locekļu \((2; 3.25; 4.5; 5.75; 7)\) summa ir \(S_{5}=2+3.25+4.5+5.75+7=22.5\) - ja \(d=-0.75\), tad aritmētiskās progresijas pirmo piecu locekļu \((2; 1.25; 0.5; -0.25; -1)\) summa ir \(S_{5}=2+1.25+0.5-0.25-1=2.5\).