Pierādīt, ka nevienai naturālai \(n\) vērtībai izteiksmes \(n^{2}-n+36\) vērtība nedalās ar (A) \(165\); (B) \(169\).
(A) Ievērojam, ka \(165=3 \cdot 5 \cdot 11\). Pamatosim, ka dotā izteiksme nedalās ar \(5\).
| \(n \pmod 5\) | \(n^2 \pmod 5\) | \(n^2 - n + 36 \pmod 5\) |
|---|---|---|
| \(\mathbf{0}\) | 0 | \(0-0+36 \equiv 1\) |
| \(\mathbf{1}\) | 1 | \(1-1+36 \equiv 1\) |
| \(\mathbf{2}\) | 4 | \(4-2+36=38 \equiv 3\) |
| \(\mathbf{3}\) | \(9 \equiv 4\) | \(4-3+36=37 \equiv 2\) |
| \(\mathbf{4}\) | \(16 \equiv 1\) | \(1-4+36=33 \equiv 3\) |
Esam ieguvuši, ka izteiksme \(n^{2}-n+36\) nedalās ar \(5\) (jo tā ir kongruenta ar \(1\), \(2\) vai \(3\) pēc moduļa \(5\)), tātad tā nedalās arī ar \(165\).
Piezīme. Kongruenču vietā var apskatīt skaitlus \(n\) formā \(5k; 5k+1; 5k+2; 5k+3; 5k+4\), kur \(k=0;1;2;\ldots\), un pierādīt, ka dotā izteiksme nedalās ar \(5\).
Piemēram, ja \(n=5k+1\), tad
\[n^{2}-n+36=(5 k+1)^{2}-(5 k+1)+36=25 k^{2}+10 k+1-5 k-1+36=5\left(5 k^{2}+k+7\right)+1\]
Līdzīgi apskata citus gadīumus.