Atrisinājums

Ievērojam, ka \(S_{EHD}=S_{BDE}-S_{BHE}\) (skat. 3.att.). Aprēķinām atbilstošo trijstūru laukumus:

• \(S_{BDE}=\frac{1}{2} \cdot BE \cdot AD=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1=\frac{1}{4}\);
• \(\triangle BHE \sim \triangle DHC\) pēc pazīmes \(\ell \ell\), jo \(\Varangle BHE=\Varangle DHC\) kā krustleņki un \(\Varangle EBH=\Varangle HDC=45^{\circ}\). Līdzīgu trijstūru atbilstošie elementi ir proporcionāli, tāpēc \(\frac{HH_{1}}{HH_{2}}=\frac{BE}{CD}=\frac{1}{2}\). Tātad \(HH_{1}=\frac{1}{3} \quad\) un \(S_{BHE}=\frac{1}{2} \cdot BE \cdot HH_{1}=\frac{1}{12}\).

Līdz ar to \(S_{EHD}=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6}\).

Tā kā \(AB=AD=1, BF=EA=\frac{1}{2}\) un \(\Varangle ABF=\Varangle EAD=90^{\circ}\), tad \(\triangle ABF=\triangle DAE\) pēc pazīmes mem. Līdz ar to \(\triangle EGA \sim \triangle EAD\) pēc pazīmes \(\ell \ell\), jo \(\Varangle EAG=\Varangle EDA\) kā vienādu trijstūru atbilstošie leņki un \(\Varangle AED\) ir kopīgs. Tāpēc \(\frac{EA}{AD}=\frac{EG}{AG}=\frac{1}{2}\), no kurienes izriet, ka \(AG=2EG\).

Līdzīgi iegūstam, ka \(\triangle AGD \sim \triangle EAD\) pēc pazīmes \(\ell \ell\), jo \(\Varangle AGD=\Varangle EAD=90^{\circ}\), jo \(\triangle EGA \sim \triangle EAD\), un \(\Varangle EDA\) ir kopīgs. Tāpēc \(\frac{EA}{AD}=\frac{AG}{GD}=\frac{1}{2}\), no kurienes izriet, ka \(GD=2AG\). Tātad \(GD=2AG=2 \cdot 2EG=4EG\).

Trijstūriem \(EHG\) un \(GHD\) ir kopīgs augstums, tāpēc to laukumu attiecība ir \(\frac{S_{EHG}}{S_{GHD}}=\frac{EG}{GD}=\frac{1}{4}\).

Līdz ar to \(S_{GHD}=\frac{4}{5} S_{EHD}=\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{15}\) un simetrijas dēļ \(S_{DGHI}=2 \cdot \frac{2}{15}=\frac{4}{15}\).