Aplūkosim funkcijas \(y=ax^{2}+2x+2b\), kuru koeficienti \(a\) un \(b\) ir reāli skaitļi, kurus saista sakarība \(a+18b=2021\). Pierādīt, ka visu šo funkciju grafikiem ir divi kopīgi punkti.
Pamatosim, ka visu aplūkoto funkciju grafikiem ir divi kopīgi punkti:
ja \(x=\frac{1}{3}\), tad \(y=a \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\frac{2}{3}+2 b=\left(\frac{1}{9} a+2 b\right)+\frac{2}{3}= \frac{1}{9}(a+18 b)+\frac{2}{3}=\frac{2021}{9}+\frac{2}{3}=\frac{2027}{9}\);
ja \(x=-\frac{1}{3}\), tad \(y=a \cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{2}{3}+2 b=\left(\frac{1}{9} a+2 b\right)-\frac{2}{3}= \frac{1}{9}(a+18 b)-\frac{2}{3}=\frac{2021}{9}-\frac{2}{3}=\frac{2015}{9}\).
Tātad punkti \(\left(\frac{1}{3} ; \frac{2027}{9}\right)\) un \(\left(-\frac{1}{3} ; \frac{2015}{9}\right)\) ir kopīgi visu doto funkciju grafikiem.