Divas riņķa līnijas \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) iekšēji pieskaras punktā \(A\) (\(\omega_{2}\) atrodas \(\omega_{1}\) iekšpusē) un \(\omega_{1}\) centrs neatrodas \(\omega_{2}\) iekšpusē. Riņķa līnijas \(\omega_{1}\) diametrs \(AB\) šķērso \(\omega_{2}\) punktā \(C\). Zināms, ka \(\omega_{1}\) hordas \(DE\), kas iet caur \(C\) perpendikulāri \(AB\), garums sakrīt ar \(BC\) garumu. Aprēķināt \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) diametru garumu attiecību \(\frac{AB}{AC}\).
Apzīmējam \(O_{1}D=O_{1}A=R\) un \(O_{2}A=O_{2}C=r\), kur \(O_{1}\) un \(O_{2}\) ir attiecīgi riņķa līniju \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) centri (skat. 23.att.). Ievērojam, ka \(BC=AB-AC=2R-2r, \quad O_{1}C=O_{1}A-AC=R-2r\) un simetrijas dēļ \(CD=\frac{1}{2} BC=R-r\). Pēc Pitagora teorēmas taisnleņķa trijstūrī \(O_{1}CD\) iegūstam, ka \(CD^{2}=O_{1}D^{2}-O_{1}C^{2}\). Līdz ar to esam ieguvuši vienādojumu
\[\begin{aligned} &\left(\frac{1}{2} BC\right)^{2}=O_{1}D^{2}-O_{1}C^{2} \\ &(R-r)^{2}=R^{2}-(R-2r)^{2} \\ & R^{2}-2Rr+r^{2}=R^{2}-R^{2}+4Rr-4r^{2} \\ & R^{2}-6Rr+5r^{2}=0 \end{aligned}\]
Izmantojot grupēšanas paņēmienu, sadalām kreisās puses izteiksmi reizinātājos:\[\begin{gathered} R^{2}-Rr-5Rr+5r^{2}=0 \\ R(R-r)-5r(R-r)=0 \\ \quad(R-r)(R-5r)=0 \end{gathered}\]
Reizinājums ir \(0\) tikai tad, ja kāds no reizinātājiem ir \(0\). Tātad iespējami divi gadījumi: - \(R-r=0\) jeb \(R=r\), kas neder, jo riņķa līnijas šajā gadījumā sakrīt; - \(R-5r=0\) jeb \(R=5r\), tātad varam aprēķināt prasīto \(\frac{AB}{AC}=\frac{2R}{2r}=\frac{R}{r}=5\).