Atrisinājums

Ievērojam, ka visiem naturāliem skaitļiem \(n\) izpildās vienādība \(\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\). Tāpēc pierādāmās vienādības kreisās puses izteiksmi var pārveidot formā:

\[\begin{aligned} \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\ldots+ & \frac{1}{2019 \cdot 2021}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2019}-\frac{1}{2021}\right)= \\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2019}-\frac{1}{2021}\right) \end{aligned}\]

Ievērojam, ka šajā izteiksmē parādās pretēji skaitļi, kuru summa ir \(0\), līdz ar to pēc vienkāršošanas paliek tikai divi saskaitāmie \(\frac{1}{1}\) un \(\left(-\frac{1}{2021}\right)\), tātad

\[\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\ldots+\frac{1}{2019 \cdot 2021}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2021}\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{2020}{2021}=\frac{1010}{2021}\]

kas arī bija jāpierāda.