LV.NOL.2020.8.4 lv
Dota tabula ar izmēriem \(3 \times 2n\) rūtiņas, kurā katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(6n\) (katrā rūtiņā cits skaitlis) tā, ka rūtiņās, kurām ir kopīga mala, ierakstīto skaitļu starpība ir vismaz \(K\) (kur \(K\) ir naturāls skaitlis). Kādai lielākajai \(K\) vērtībai tas ir iespējams (izsaki atbildi atkarībā no \(n\) vērtības)?
Atrisinājums
Lielākā iespējamā \(K\) vērtība ir \(3n-1\).
Pieņemsim pretējo, ka \(K \geq \frac{6n}{2}=3 n\). Ievērojam, ka katrai tabulas rūtiņai ir vismaz divas blakus rūtiņas (blakus rūtiņas ir rūtiņas, kurām ir kopīga mala), un aplūkojam to rūtiņu, kurā ierakstīts skaitlis \(3n\). Šim skaitlim tikai viens no tabulā ierakstītajiem skaitļiem var nodrošināt starpību, kas ir vismaz \(3n\), tas ir skaitlis \(6n\). Esam ieguvuši pretrunu, tātad derīgs tabulas aizpildījums ar \(K \geq 3 n\) neeksistē.
Ja \(K=3n-1\), tad tabulu var aizpildīt, piemēram, kā parādīts 22.att., kur blakus rūtiņās ierakstīto skaitļu starpības periodiski atkārtojas.
