Atrisinājums

Trijstūris \(ABM\) ir vienādsānu, jo \(AB=BM\) (pēc dotā), tāpēc apzīmējam \(\sphericalangle BAM=\sphericalangle BMA=2 \alpha\) un pēc bisektrises definīcijas \(\sphericalangle BAK=\alpha\) (skat. 21.att.). Tā kā trijstūra \(ABM\) virsotnes leņķis \(\sphericalangle ABM=180^{\circ}-4 \alpha\), tad \(\sphericalangle ABK=\) \(2 \sphericalangle ABM=360^{\circ}-8 \alpha\). Ievērojam, ka

• \(\sphericalangle AKB=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\sphericalangle BAK\right)=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}\);
• \(\sphericalangle AKB=\sphericalangle ABK=360^{\circ}-8 \alpha\).

Līdz ar to iegūstam vienādojumu \(\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=360^{\circ}-8 \alpha\), no kā izriet, ka \(180^{\circ}-\alpha=720^{\circ}-16 \alpha\) jeb \(\alpha=540^{\circ}:15=36^{\circ}\). Tātad trijstūra \(ABC\) lenņķu lielumi ir \(\sphericalangle BAC=36^{\circ} \cdot 2=72^{\circ}, \quad \sphericalangle ABC=360^{\circ}-8 \cdot 36^{\circ}=72^{\circ}\) un \(\sphericalangle ACB=180^{\circ}-2 \cdot 72^{\circ}=36^{\circ}\).