LV.NOL.2020.12.3 lv
Dots trijstūris \(ABC\), kurā \(\sphericalangle A<\sphericalangle C\). Uz malas \(BC\) pagarinājuma izvēlēts punkts \(D\) tā, ka \(B\) atrodas starp \(C\) un \(D\) un \(BD=AB\). Uz leņķa \(ABC\) bisektrises izvēlēts punkts \(E\) tā, ka \(\sphericalangle BAE=\sphericalangle ACB\). Nogriežņi \(BE\) un \(AC\) krustojas punktā \(F\). Taisne, kas novilkta caur punktu \(E\) paralēli \(CD\), krusto nogriežņi \(AD\) punktā \(G\). Pierādīt, ka \(AG=BF\).
Atrisinājums
Pierādīsim, ka \(\triangle ABF=\triangle EGA\) (skat. 37.att.).
Tā kā pēc bisektrises definīcijas \(\sphericalangle CBF=\sphericalangle FBA\) un pēc dotā \(\sphericalangle BAE=\sphericalangle ACB\), tad \(\sphericalangle BFC=\sphericalangle BEA\). Tātad \(\sphericalangle BEA=\sphericalangle BFC=\sphericalangle AFE\), tāpēc \(\triangle FAE\) ir vienādsānu trijstūris un \(\boldsymbol{AE}=\boldsymbol{AF}\).
Ievērojam, ka \(\sphericalangle EGA=\sphericalangle CDA\) kā kāpšļu leņķi pie paralēlām taisnēm \(EG\) un \(CD\). Tā kā trijstūris \(ABD\) ir vienādsānu, tad \(\sphericalangle BDA=\sphericalangle BAD\). Ievērojam, ka \(\sphericalangle ABC=\sphericalangle BAD+\sphericalangle BDA\) kā trijstūra \(ABD\) ārējais leņķis, tātad \(\sphericalangle 2FBA=\sphericalangle BAD\) jeb \(\sphericalangle BAD=\sphericalangle FBA\). Līdz ar to \(\sphericalangle EGA=\sphericalangle ABF\).
Izmantojot, ka \(\sphericalangle AFB\) ir trijstūra \(FCB\) ārējais leņķis, iegūstam
\[\sphericalangle \boldsymbol{AFB}=\sphericalangle ACB+\sphericalangle CBF=\sphericalangle EAB+\sphericalangle BAD=\sphericalangle \boldsymbol{E} \boldsymbol{AG} .\]
Tā kā \(\sphericalangle EGA=\sphericalangle ABF\) un \(\sphericalangle EAG=\sphericalangle AFB\), tad arī \(\sphericalangle AEG=\sphericalangle \boldsymbol{F} \boldsymbol{AB}\). Tātad \(\triangle ABF=\triangle EGA\) pēc pazīmes \(\ell m \ell\) un \(AG=BF\) kā atbilstošās malas.