Atrisinājums

Ekvivalenti pārveidojam doto vienādojumu:

\[\begin{gathered} n^{3}=n^{3}-3n^{2}+3n-1+n^{3}-6n^{2}+12n-8+n^{3}-9n^{2}+27n-27 \\ 2n^{3}-18n^{2}+42n-36=0 \\ n^{3}-9n^{2}+21n-18=0 \end{gathered}\]

Ievērojam, ka \(6^{3}=5^{3}+4^{3}+3^{3}\), tātad \(n=6\) ir dotā vienādojuma sakne un vienādojumu \(n^{3}-9n^{2}+21n-18=0\) var pārveidot formā (izdalot polinomu ar binomu \((n-6)\) ):

\[(n-6)\left(n^{2}-3n+3\right)=0\]

Vienādojumam \(n^{2}-3n+3=0\) nav veselu sakņu, jo \(D=9-12<0\). *Piezīme.* Tā kā vienādojuma veselās saknes var būt tikai brīvā locekļa dalītāji, tad var pārbaudīt visas iespējamās vērtības \(\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 6; \pm 9; \pm 18\).