Atrisinājums

Apzīmējam \(O_{1}A=O_{1}C=r\) un \(O_{2}B=O_{2}D=R\), kur \(O_{1}\) un \(O_{2}\) ir attiecīgi riņķa līniju \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) centri (skat. 32.att.). Novelkam \(O_{1}E \perp O_{2}B\) un \(O_{2}F \perp O_{1}C\), kur \(E \in O_{2} B\) un \(F \in O_{1}C\). Tā kā \(O_{1}O_{2}=r+R\) un \(O_{2}E=R-r\), tad pēc Pitagora teorēmas \(\triangle O_{1}EO_{2}\) iegūstam

\[O_{1}E^{2}=\left(O_{1}O_{2}\right)^{2}-O_{2}E^{2}=(r+R)^{2}-(R-r)^{2}=4Rr.\]

Ievērojam, ka \(AB^{2}=O_{1}E^{2}=O_{2}F^{2}=4Rr\) un \(O_{2}E=FO_{1}=R-r\). Tātad \(CF=CO_{1}-FO_{1}=r-(R-r)=2r-R\) un pēc Pitagora teorēmas \(\triangle CFO_{2}\) iegūstam

\[O_{2}C^{2}=CF^{2}+O_{2}F^{2}=(2r-R)^{2}+4Rr=4r^{2}+R^{2}\]

Apskatām \(\triangle CDO_{2}\)

\[CD^{2}=O_{2}C^{2}-O_{2}D^{2}=4r^{2}+R^{2}-R^{2}=4r^{2}\]

Līdz ar to \(CD=2r\) un \(AC=2 \cdot O_{1}A=2r\), un esam pierādījuši, ka \(AC=CD\).